Гауссовский метод с выбором главного элемента

Основная идея метода. В данном случае обычный гауссовский метод не подходит, но можно применить гауссовский метод с выбором главного элемента. Основная идея метода заключается не в том, чтобы на следующем шаге устранить следующее неизвестное, а в том, чтобы устранить неизвестное с наибольшим коэффициентом по модулю.

Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. элемент с наибольшим значением по модулю. Таким образом, если , то в вычислениях не будет деления на ноль. Проиллюстрируем различные варианты метода Гаусса с выбором главного элемента на примере системы двух уравнений 2. Тогда на первом шаге мы будем исключать переменную. Такой метод исключения называется методом Гаусса с выбором главного элемента по строке.

Также существует метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Предположим, что. Перепишем систему 2 в виде и на первом шаге применим к новой системе обычный метод Гаусса. Таким образом, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге элиминирования производится соответствующая перенумерация уравнений.

Матрицы перестановок. Ранее было показано, что обычный метод Гаусса может быть записан в виде где -элементарные нижние треугольные матрицы. Чтобы получить аналогичную нотацию метода Гаусса с выбором главного элемента, необходимо рассмотреть матрицы перестановок. Применение элементарных матриц перестановки для описания метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцу можно пояснить на следующем примере системы третьего порядка: 4 Система имеет вид 1 , где 5 Максимальный элемент первого столбца матрицы A находится во второй строке.

Этот шаг эквивалентен умножению системы 7 на элементарную нижнюю треугольную матрицу В результате мы переходим от системы 7 к эквивалентной системе 8.


Навигация

Comments